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http://www.repositorio.ufal.br/jspui/handle/123456789/12985
Tipo: | Trabalho de Conclusão de Curso |
Título: | O grupo das tranças no disco unitário como aplicação de grupos quocientes |
Autor(es): | Amorim, Gisele Lima de |
Primeiro Orientador: | Lima, Juliana RobertaTheodoro de |
metadata.dc.contributor.referee1: | Guerra, Ediel Azevedo |
metadata.dc.contributor.referee2: | Flores, Andre Luiz |
Resumo: | O Grupo de Tranças (Braid Groups) no Disco Unitário pode ser visto de três definições equivalentes graças à diferentes estruturas na Matemática: como grupos quocientes ([L]) na Álgebra Abstrata ([H, M]), como grupo fundamental de espaços de configuração e como grupos de classes de mapas (Mapping Class Groups), em áreas mais específicas e densas da Topologia Algébrica ([B]). Aqui, vamos apresentar o Grupo de Tranças no Disco Unitário ou Grupo de Tranças de Artin, como também é conhecido, como uma aplicação de uma construção via teoria de grupos quocientes: tomando um conjunto não vazio (das tranças sob n - fios), quocientando-o por uma relação de equivalência denominada relação de movimentos elementares (formalmente chamada de isotopia ambiente) e, munindo o conjunto quociente produzido com uma operação produto de tranças (concatenação), definine-se o grupo de tranças supracitado. Além disso, vamos fornecer a apresentação finitamente gerada desse grupo, como Artin, o pai da teoria, o fez em 1925, mas só ficou mundialmente conhecida quando foi traduzida para o inglês em 1946 ([A1, A2]). A abordagem dessa construção será feita de maneira geométrica, como é feito em [M], porque é um tipo de bordagem que alunos de graduação são capazes de compreender de uma forma mais aplicada, já que é necessário ferramentas matemáticas muito mais “robustas” para tal construção. Por fim, vamos falar sobre um problema famoso na área de estudos de grupos de tranças, chamado de Problema da Palavra, que consiste em oferecer um algoritmo de decisão para quando uma determinada trança é equivalente à trança trivial ou não. Esse trabalho foi resultado de anos de iniciação científicas combinadas com orientações de TCC entre a aluna e a orientadora. |
Abstract: | The Braid Group Over the Unit Disk (Braid Groups) has 3 different equivalent definitions thanks to Mathematical different structures: as quotient groups ([L]) over Abstract Algebra ([H, M]), as fundamental group of configuration spaces and also, as mapping class groups; this last two structures are from heavier tools over Algebraic Topology ([B]). Here we present The Braid Group over the Unit Disk, or simply, Artin Braid Groups as is also known, as a application of a special construction under quotient groups: we consider a set (of braids on n-strands), quotient up to a equivalence relation of elementary movements (formally called ambient isotopy) and finally, equip this quotient set with a product operation (concatenation), giving rise to the mentioned group above. Furthermore, we discuss over the finitely presentation for The Braid Group Over the Unit Disk given by Artin in 1925. This presentation became known worldwide only in 1946, when the paper was translated to English in that time ([A1, A2]). Finally, we talk about a famous problem on conjugacy theory, called Word Problem, which consists in providing an algorithm which decides when a given braid is equivalent to the trivial braid or not. The approach we suggest here is given in a geometrical way as is done in [M], since is a manner to undergraduate students are able to understand, as much difficult the theory is. This work was a result from years of scientific cooperation between the student and her advisor. |
Palavras-chave: | Geometria e Topologia Topologia algébrica Grupo quociente Teoria das Tranças Geometry and Topology Algebraic topology Quotient group Braid Theory |
CNPq: | CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA |
Idioma: | por |
País: | Brasil |
Editor: | Universidade Federal de Alagoas |
Sigla da Instituição: | UFAL |
metadata.dc.publisher.department: | Curso de Matemática - Licenciatura |
Citação: | AMORIM, Gisele Lima de. O grupo das tranças no disco unitário como aplicação de grupos quocientes. 2024. 57 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Instituto de Matemática, Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2023. |
Tipo de Acesso: | Acesso Aberto |
URI: | http://www.repositorio.ufal.br/jspui/handle/123456789/12985 |
Data do documento: | 23-ago-2023 |
Aparece nas coleções: | Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC) - Bacharelado - MATEMÁTICA - IM |
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