Surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés homogènes

Abstract

The goal of this thesis is to study constant mean curvature surfaces into homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group. In the first part of this thesis, we study constant mean curvature surfaces in the product manifolds S 2 × R and H2 × R. As a main result, we establish a local classification for constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in these spaces. In this classification, we present a new example of constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in H2 × R. As a consequence, we use the sister surface correspondence to classify the constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in the others homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group, and then new examples with these conditions arise in PSL g 2(R). We devote the second part of this thesis to study minimal surfaces in S 2 ×R. For this, we define a new Gauss map for surfaces in this space using the model of S 2 × R isometric to R 3 \ {0}, endowed with a metric conformally equivalent to the Euclidean metric of R 3 . As a main result, we prove that any two minimal conformal immersions in S 2 × R with the same non-constant Gauss map differ by only two types of ambient isometries. Moreover, if the Gauss map is a singular, we show that it is necessarily constant and then the surface is a vertical cylinder over a geodesic of S 2 in S 2 × R. We also study some particular cases, among them we also prove that there is no minimal conformal immersion into S 2 × R with anti-holomorphic non-constant Gauss map.

L’objectif de cette thèse est d’étudier les surfaces à courbure moyenne constante dans des variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d’isométries de dimension 4. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions les surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés produites S2 × R et H2 × R. Comme résultat principal, nous établissons une classification locale pour les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans ces espaces. Dans cette classification, nous présentons un nouvel exemple de surface à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans H2×R. En conséquence, nous utilisons la correspondence dês surfaces soeurs pour classifier les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans les autres variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d’isométries de dimension 4, et donc sous ces conditions des nouveaux examples apparaissent dans PSL g 2(R). Nous consacrons la deuxième partie de cette thèse à l’étude des surfaces minimales dans S2 × R. À cet effet, nous définissons une nouvelle application de Gauss pour ces surfaces, en utilisant le modèle de S2 × R qui est isométrique à R3 \ {0}, muni d’une métrique conformément équivalente à la métrique de l’espace euclidien R3 . Comme résultat principal, nous montrons que deux immersions minimales conformes quelconques en S2 × R, avec la même application de Gauss non-constante, ne diffèrent que par des isométries de S2 × R de deux types particuliers. De plus, si l’application de Gauss est singulière, nous montrons que cette application est forcément constante, et donc, la surface est un cylindre vertical sur une géodésique de S2 dans S2 × R. Nous étudions également quelques cas particuliers, et, parmi eux, nous prouvons qu’il n’existe pas d’immersion minimale conforme dans S2 × R telle que l’application de Gauss soit non-constante et anti-holomorphe.