Some geometric and analytical results on weighted riemannian manifolds

Abstract

RESUMO_____Seja pM; x ; y; fq uma variedade Riemanniana ponderada. Nesta tese obtemos resultados geom etricos e anal ticos em pM; x ; y; fq assumindo que o tensor de Bakry- Emery Ricci e n~ao negativo em alguns resultados e assumindo que a curvatura m edia ponderada e limitada inferiormente em outros. Al em disso, assumindo que a curvatura seccional generalizada radial e limitada inferiormente obtemos um teorema de compara c~ao para a Hessiana da fun c~ao dist^ancia e algumas consequ^encias. Seja uma superf cie fechada em M, assumindo que a curvatura escalar de Perelman e limitada inferiormente, obtemos um limite superior para o primeiro autovalor n~ao nulo do operador de Jacobi ponderado da superf cie M e generalizamos um resultado de Schoen e Yau sobre superf cies m nimas est aveis, veja [45]. Tamb em obtemos, para superf cies com fronteira, uma estimativa sharp inferiormente para o primeiro autovalor n~ao nulo de Steklo . Para superf cies tamb em obtemos um limite superior para o primeiro autovalor n~ao nulo do operador de Jacobi ponderado e algumas consequ^encias, por exemplo, mostramos que em R3 n~ao existe self-shrinker fechado e est avel. Em dimens~ao alta obtemos limites superiores e inferiores para o primeiro autovalor n~ao nulo de Steklo sobre hip oteses apropriadas. Conclu mos nosso trabalho com um teorema splitting.